2. Técnicas de modelamento numérico

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Solução de problemas de N-corpos

Descrição do algorítmo de Barnes-Hut: TREECODE

Algoritmo em duas partes:

• criação da árvore;
• varredura da árvore para calcular distâncias entre partículas.

Primeiro passo: definir a extensão espacial do problema. Define-se um cubo que envolva todas as partículas. O tamanho dos lados é dado pela maior separação entre partículas em qualquer das dimensões espaciais.

Segundo passo: dividir o espaço recursivamente em cada dimensão. Em três dimensões o cubo inicial é subdividido em 8 sub-cubos iguais. O processo é repetido até que reste apênas uma ou nenhuma partícula em cada célula. Em cada caso e em cada estágio da subdivisão, os centros de massa da distribuição interna à célula são calculados e armazenados.

Um diagrama de fluxo para o problema bidimensional simples mostrado anteriormente é apresentado a seguir:

Varrendo a árvore

Maximizar a eficiência: se um grupo de partículas está suficientemente distante de uma partícula individual, o cálculo da força exercida na partícula pelo grupo pode ser feito tratando o grupo como uma partícula única, posicionada no centro de massa do grupo.

Assim, para cada partícula, a árvore é percorrida a partir do nodo raiz (o que contêm todas as partículas). Usa-se o critério:

onde s é o tamanho da célula, d a distância da partícula ao centro de massa da célula e  um parâmetro de tolerância ajustável. Se o critério for satisfeito, o cálculo da força é feito tomando-se uma expansão de baixa ordem do potencial do grupo de partículas da célula con relação ao seu centro de massa.  Do contrário deve-se "descer" um nível a mais na árvore e testar o critério para sub-células até o caso extremo de interacão partícula-partícula.  Para o cálculo da força sobre uma partícula, toda a árvore deve ser varrida.

O a expressão do potencial gravitacional na posição da partícula i é

Depois que a força sobre cada partíicula for calculada, as partículas podem ser movidas. Depois do movimento a árvore deve ser reconstruída e o processo se repete no próximo time-step.

Os tempos de CPU gastos em ambas as fases, de construção e de varredura da árvore, serão proporcionais a N log N.

Animações do algoritmo de Barnes-Hut

Abaixo é mostrada uma projeção bidimensional de um problema tridimensional de 64 partículas. A animação mostra a evolução temporal da árvore.

Representação tridimensional do problema acima. A animação mostra a evolução temporal da árvore.

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SPH

• O meio interestelar é tratado como um fluido suavizado obedecendo a equação de Navier-Stokes para um gás compressível.
• A evolução do gás interestelar é modelada usando a técnica SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics, Lucy 1977, Gingold & Monaghan 1977) de forma completamente compatível com a estrutura em árvore do TREECODE.
• O campo de densidades do gás é representado por partículas. Cada partícula carrega informações que descrevem as propriedades termodinâmicas e hidrodinâmicas locais do fluido.
• Essas propriedades são atualizadas usando as leis hidrodinâmicas de conservação, incluindo-se uma viscosidade artificial para capturar choques e fontes de geração de entropia para contabilizar o aquecimento/resfriamento.
• Por interpolação se pode estimar as propriedades do fluido em qualquer ponto do espaço a partir das partículas vizinhas (por meio de um KERNEL)

• Neste trabalho foi usada a implementação de Hernquist (1987) do TREECODE e de Hernquist & Katz (1989) do TREESPH.

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Galáxias

• Modelo autoconsistente de Kuijken & Dubinski (1995) -- Disco+Bojo+Halo
• As Funções de Distribuição (DF) do bojo e do halo são funções somente de E e L_Z:
• DF do Bojo = modelo de King (1962).
• DF do Halo = modelo de Kuijken & Dubinski (1994) -- truncagem em energia finita dos modelos de Evans (1993) para potencial logarítmico achatado. O halo pode ser achatado e pode ser conferida rotação.
• A DF do disco é função de E, L_Z (disco exponencial) e de uma "terceira integral", E_Z, a energia nas oscilações verticais, que é aproximadamente conservada em discos quentes com extensão vertical.
• Modelos com extensão finita -- bons para modelos de N-corpos.

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Aglomerados

• São modelados por um polítropo de Plummer -- polítropo de índice 5.
• Perfil similar ao clássico de King.
• Massas idênticas para todas as partículas.

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Condições iniciais

• Em sistemas com simetria esférica (encontros de aglomerados) a dinâmica é determinada pelas massas, excentricidade da órbita e distância de pericentro. A inclinação da órbita é arbitrária e pode ser ajustada mudando-se a posição do observador.
• Encontros de sistemas axissimétricos (galáxias discoidais) envolvem o estudo de órbitas que são verdadeiramente tridimensionais ==> as inclinações dos discos em relação ao plano da órbita fazem muita diferença.
• Sistemas de coordenadas:
• Sistema padrão: definido pelo plano do céu; origem no centro de massa; eixos X e Y contidos no plano do céu; eixo Z+ aponta para o observador. Nesse sistema as galáxias são posicionadas pelos seus ângulos de posição PA (medido a partir de X) e inclinação i. PA e i devem ser tais que o spin do disco fique correto.
• Sistema de coordenadas próprio do disco: disco no plano XY, spin na direção Z+ ==> rotação anti-horária.
• Sistema de coordenadas da órbita: origem no centro de massa; plano da órbita é o plano XY, "spin da órbita" na direção Z+
• Programas adicionais: conversão de dados, transformações de coordenadas, preparação de condições iniciais, visualização, queorbita.

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